这是第一篇带有实验性质的物理文章。不知怎么，它看起来太像教科书或课堂笔记了。我还不确定这是不是我最终想要的形式，不过我的确花了不少时间写这篇文章——无论还有哪些可以改进的地方，我都会留到下一次再做（下一篇的主题尚未决定）。

参考文献： Sean Carroll 的 Spacetime and Geometry；Stuart L. Shapiro 与 Saul A. Teukolsky 的 Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars；Shu Yan Lau 等人的 “Nonradial instabilities in anisotropic neutron stars”。

李导数与流体

本文是一篇简明笔记，包含理解流体微扰所需的必要推导。在为恒星、恒星的状态方程（EOS）或稳定性建模时，这些内容会很有用：我们将恒星内部视为流体单元，而对于单个单元，只关心它的宏观性质。之所以引入李导数，是因为在引力场存在时，流体所在时空的度规可能不再是闵可夫斯基度规，因此必须使用微分几何的方法来处理。

我会先介绍理解并计算流形上李导数所需的背景知识，随后总结它在流体建模中的应用。最后一节给出一个计算微扰能动张量的简短示例。

流形映射、拉回与推前

本节更详细的内容可参见 Sean Carroll 的 Spacetime and Geometry 附录 A 与附录 B。

从流形 $M$ 与 $N$ 开始，它们的维数分别为 $m$ 与 $n$。函数 $\phi$ 是从 $M\to N$ 的映射，而函数 $f$ 是从 $N\to \mathbb{R}$ 的映射。

可以定义 $f$ 关于 $\phi$ 的拉回（Pullback），记作 $\phi^* f:=(f\circ \phi)$ 可以把它理解为将函数 $f$ 从 $N$ 拉回到 $M$。函数本身不能以同样方式被推前；不过，由于向量可以看作把光滑函数映射到实数的微分算符，我们仍然可以定义向量的推前（Pushforward）。设 $V(p)$ 是流形 $M$ 上点 $p$ 处的向量，则可通过规定它对 $N$ 上函数的作用，定义 $N$ 上点 $\phi(p)$ 处的推前向量 $\phi_*V$： $(\phi_*V)(f) := V(\phi^* f)$

令 $V^\mu$ 为向量分量，而 $\partial_\mu = \partial/\partial x^\mu$ 与 $\partial_\alpha = \partial/\partial x^\alpha$ 分别是在 $M$ 与 $N$ 上使用的基，则有： $V(\phi^* f) = V^\mu\partial_\mu(f\circ\phi) = V^\mu \frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu}(\partial_\alpha f)$ 这与坐标变换相似，但要注意 $\alpha$ 与 $\mu$ 的取值范围可能不同，因此“雅可比矩阵”$\partial y^\alpha/\partial x^\mu$ 没有理由一定可逆。

与向量的推前类似，也可以定义一次形式 $\omega$ 的拉回： $(\phi^*\omega)(V) := \omega (\phi_* V) = \frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu} \omega_\alpha V^\mu$

为了获得直观理解，可以采用下面的观点：

$$\begin{aligned} V:\,& C^\infty(M) \to T_pM&\\ \phi^*V:\,& C^\infty(N) \to T_pN\\ \omega:\,&T_pM\to \mathbb{R} \\ \phi_*\omega:\,& T_pN \to \mathbb{R} \end{aligned}$$

拉回与推前还可以分别推广到任意 $(0,l)$ 型或 $(k,0)$ 型张量：

$$\begin{aligned} (\phi^* T)_{\mu_1\cdots \mu_l} =& \frac{\partial y^{\alpha_1}}{\partial x^{\mu_1}}\cdots\frac{\partial y^{\alpha_l}}{\partial x^{\mu_l}}T_{\alpha_1\cdots \alpha_l}\\ (\phi^* S)^{\alpha_1\cdots \alpha_k} =& \frac{\partial y^{\alpha_1}}{\partial x^{\mu_1}}\cdots\frac{\partial y^{\alpha_k}}{\partial x^{\mu_k}}S^{\mu_1\cdots \mu_k} \end{aligned}$$

李导数

为了继续讨论，需要先定义微分同胚。上一节借助映射 $\phi$ 定义了拉回与推前；然而在多数情况下，$\phi$ 不可逆，因此不能同时沿两个方向使用。

现在令 $M$ 与 $N$ 为同一个流形，于是它们自然是微分同胚的：存在光滑映射 $\phi:M\to N$，并且其逆映射 $\phi^{-1}:N\to M$ 也光滑。这样便可以拉回或推前任意张量：

$${(\phi^* T)^{\alpha_1\cdots \alpha_k}}_{\beta_1\cdots\beta_l} = \bigg(\frac{\partial y^{\alpha_1}}{\partial x^{\mu_1}}\cdots\frac{\partial y^{\alpha_l}}{\partial x^{\mu_l}} \bigg)\bigg(\frac{\partial y^{\nu_1}}{\partial x^{\beta_1}}\cdots\frac{\partial y^{\nu_l}}{\partial x^{\beta_l}}\bigg){T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l}$$

在这个设定下，微分同胚与坐标变换只是完成同一件事情的两种不同表述。

---

给定微分同胚 $\phi:M\to M$ 与张量场 ${T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l}(x)$，现在可以比较张量在 $p$ 处的值与 $\phi^*\left[{T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l}(\phi(p))\right]$，后者是把张量在 $\phi(p)$ 处的值拉回到 $p$。由此可以在流形上定义另一种导数，用于刻画张量沿微分同胚之流移动时的变化。 不过，还需要把微分同胚进一步限制为单参数微分同胚族 $\phi_t$。它可以看作光滑映射 $\mathbb{R}\times M\to M$：对每个 $t\in\mathbb{R}$ 都存在一个微分同胚 $\phi_t$，并满足 $\phi_s\circ\phi_t=\phi_{s+t}$。在 $S^2$ 上，$\phi_t(\theta,\phi)=(\theta,\phi+t)$ 就是一个十分直观的例子。

也可以反过来从给定向量场构造这样的单参数微分同胚族。设有向量场 $V^\mu(x)$，则把满足下式的曲线 $x^\mu(t)$ 选作该向量场的积分曲线： $\frac{dx^\mu}{dt} = V^\mu$ 这个向量场称为微分同胚的生成元。

张量沿该向量场的李导数定义为：

$$\begin{aligned} \mathcal{L}_V{T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l} :=&\lim_{t\to 0}\bigg(\frac{\Delta_t{T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l}}{t}\bigg)\\ =&\lim_{t\to 0}\bigg(\frac{\phi_t^*[{T^{\mu_1\cdots \mu_k}-}_{\nu_1\cdots\nu_l}(\phi_t(p))]-{T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l}}{t}\bigg) \end{aligned}$$

算符 $\mathcal{L}_V$ 是线性的，并满足莱布尼茨法则。由于它不需要联络，因此在概念上比协变导数更为原始；作用于函数时，它退化为普通的方向导数。特别地，对标量场求李导数时，结果就是向量场本身对该标量场的作用。

$$\mathcal{L}_V\Phi = V^\mu\partial_\mu\Phi$$

李导数的一般形式为：

$$\begin{aligned} \mathcal{L}_V T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} &= V^\sigma \partial_\sigma T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} \\ &\quad - (\partial_\lambda V^{\mu_1}) T^{\lambda \mu_2 \cdots \mu_k}_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} - (\partial_\lambda V^{\mu_2}) T^{\mu_1 \lambda \cdots \mu_k}_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} - \cdots \\ &\quad + (\partial_{\nu_1} V^{\lambda}) T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}_{\lambda \nu_2 \cdots \nu_l} + (\partial_{\nu_2} V^{\lambda}) T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}_{\nu_1 \lambda \cdots \nu_l} + \cdots \end{aligned}$$

这是一个协变表达式，也就是说它遵循张量变换规律。若把偏导数替换为协变导数并进行适当化简，表达式仍会化为上面的形式。

利用这一一般形式，可以进一步计算度规张量 $g_{\mu\nu}$ 的李导数：

$$\begin{aligned} \mathcal{L}_V g_{\mu\nu} &= V^\sigma \nabla_\sigma g_{\mu\nu} + (\nabla_\mu V^\lambda) g_{\lambda\nu} + (\nabla_\nu V^\lambda) g_{\mu\lambda} \\ &= \nabla_\mu V_\nu + \nabla_\nu V_\mu \end{aligned}$$

流体微扰

本节非常简要地总结 Shapiro 与 Teukolsky 第 6.2 节中处理流体时所需的方程。

首先需要区分两种不同的流体微扰：欧拉变化 $\delta$ 与拉格朗日变化 $\Delta$。欧拉变化从“宏观”视角描述微扰，因为它只关心流体性质 $Q(\mathbf{x},t)$ 在时空中某一个固定点的变化：

$$\delta Q :=Q(\mathbf{x},t) - Q_0(\mathbf{x},t)\hspace{0.8cm}\text{\small (Eulerian change)}$$

相比之下，拉格朗日位移 $\xi(\mathbf{x},t)$ 采用“微观”视角定义：它连接未受扰动状态中的流体单元并形成流。本质上，它是一个向量场，而这些流就是满足 $dx^\mu/dt=\xi^\mu$ 的积分曲线。拉格朗日变化定义为：

$$\Delta Q:= Q[\mathbf{x}+\xi(\mathbf{x},t),t] - Q_0(\mathbf{x},t)\hspace{0.8cm} \text{\small (Lagrangian change)}$$

相应的算符为：

$$\Delta = \delta + \mathcal{L}_\xi$$

在欧几里得空间中，拉格朗日变化算符退化为：

$$\Delta = \delta + \xi\cdot\nabla$$

下面的对易关系有助于计算与化简：

$$\begin{aligned} \delta \frac{\partial}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial t} \delta \\ \delta \frac{\partial}{\partial x^i} &= \frac{\partial}{\partial x^i} \delta \\ \Delta \frac{\partial}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial t} \Delta - \frac{\partial \xi}{\partial t} \cdot \nabla \\ \Delta \frac{\partial}{\partial x^i} &= \frac{\partial}{\partial x^i} \Delta - \frac{\partial \xi^j}{\partial x^i} \nabla_j \\ \Delta \frac{d}{dt} &= \frac{d}{dt} \Delta \\ \delta \frac{d}{dt} &= \frac{d}{dt} \delta - (\xi \cdot \nabla) \frac{d}{dt} \end{aligned}$$

计算示例

感谢你读完上面数学味很重的部分，我们终于要开始真正计算了！这里以这篇论文为例计算能动张量，不过前置设定相当长……

---

作者提出了一种各向异性中子星模型，其能动张量写为

$$T_{\alpha\beta} = \rho u_\alpha u_\beta+p_rh_{\alpha\beta}-\sigma\Omega_{\alpha\beta},$$

其中，$\rho$ 是流体单元的能量密度，$u_\alpha$ 是四维速度，$h_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}+u_\alpha u_\beta$ 是三维空间上的横向度规；$\Omega_{\alpha\beta}=h_{\alpha\beta}-k_\alpha k_\beta$ 是二维球面上的另一横向度规。$u^\alpha$ 是流体的四维速度，而 $k^\alpha$ 是径向单位法向量，并与 $u^\alpha$ 正交。 对于表示各向异性程度的 $\sigma=p_r-p_t$，有两种可用模型：

$$\sigma_{\text{H}} = \beta p_r\mu^2;\hspace{0.5cm}\sigma_{\text{B-L}} = \beta\frac{(\rho+p_r)(\rho+3p_r)}{1-\mu}r^2$$

在脉动恒星中，度规与物质动力学由微扰后的爱因斯坦场方程和能动张量守恒方程控制：

$$\delta G_{\alpha \beta} = 8\pi \delta T_{\alpha \beta}$$ $$\delta(\nabla_{\alpha} T^{\alpha \beta}) = 0$$

静态球对称背景度规定义为：

$$ds^2 = -e^{\nu} dt^2 + e^{\lambda} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

其一阶微扰写为：

$$\begin{aligned} \delta g_{\alpha \beta} dx^{\alpha} dx^{\beta} = -\sum_{\ell, m} \bigg[& e^{\nu} r^{\ell} H_0 dt^2 + 2i\omega r^{\ell+1} H_1 dt dr\\ &+ e^{\lambda} r^{\ell} H_2 dr^2 + r^{\ell+2} K d\Omega^2 \bigg] e^{i\omega t} Y_{\ell m}, \end{aligned}$$

其中 $(H_0,H_1,H_2,K)$ 是 $r$ 的函数，而 $Y_{\ell m}$ 是球谐函数。

径向压力的拉格朗日微扰为：

$$\Delta p_r = \frac{\gamma p_r}{\rho + p_r}\Delta \rho,$$

$\gamma$ 是绝热指数。

---

下面逐步计算求取能动张量所需各物理量的一阶线性欧拉微扰。

$p_r = p_r^{(0)} + \delta p_r$

论文给出了 $\Delta p_r$ 的表达式，可据此计算 $\delta p_r$：

$$\delta p_r = \Delta p_r - \mathcal{L}_\xi p_r^{(0)} = \Delta p_r - \xi^\mu\partial_\mu p_r^{(0)}$$

利用 $\Delta p_r$ 与 $\Delta\rho$ 之间的关系，可以求得 $\Delta\rho$；再减去 $\rho$ 的李导数，即可得到 $\delta\rho$。

由归一化条件 $g^{(0)}_{\mu\nu}\left(u^{(0)}\right)^\mu\left(u^{(0)}\right)^\nu=-1$ 可以得到背景四维速度。随后使用微扰后的归一化条件：

$$\left(g^{(0)}_{\mu\nu} + \Delta g_{\mu\nu}\right)\left[u^{(0)}+\Delta u\right]^\mu\left[u^{(0)}+\Delta u\right]^\nu = -1$$

来计算 $u$ 的拉格朗日微扰。在线性阶，我们预期 $\Delta u^\mu\propto\left(u^0\right)^\mu$。因此令 $\Delta u^\mu=C\cdot\left(u^{(0)}\right)^\mu$，通过二项式展开可得：

$$\Delta u^\mu = \frac{1}{2}\left(u^{(0)}\right)^\mu\left(u^{(0)}\right)^\alpha\left(u^{(0)}\right)^\beta\Delta g_{\alpha\beta}$$

再回忆 $\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu$，经过展开即可得到 $u^\mu$ 在线性阶的欧拉微扰。

只要已知 $\left(k^{(0)}\right)^\mu$，这一结果也可以用于计算 $\delta k^\mu$。至此，计算能动张量 $T$ 所需的每个物理量的欧拉变化都已得到。将它们组合起来，便可以计算：

$$T_{\alpha\beta} = \rho u_\alpha u_\beta+p_rh_{\alpha\beta}-\sigma\Omega_{\alpha\beta},$$

其中除 $\sigma$ 外，每一项都由其背景项与欧拉变化组成。