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リー微分と流体

sztkessay

これは、物理についての最初の実験的な記事です。どういうわけか、教科書や講義ノートに少し似すぎたものになりました。これが最終的に望んでいる形式なのかはまだ分かりませんが、この記事にはかなりの時間をかけました。改善できる点があれば、次回に反映しようと思います（次の題材はまだ決めていません）。

参考文献： Sean Carroll, Spacetime and Geometry；Stuart L. Shapiro & Saul A. Teukolsky, Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars；Shu Yan Lau et al., “Nonradial instabilities in anisotropic neutron stars”。

リー微分と流体

この記事は、流体の摂動を理解するために必要な導出をまとめた簡潔なノートです。恒星、その状態方程式（EOS）、あるいは安定性をモデル化する際に役立ちます。恒星内部を流体要素として扱うとき、個々の要素について重要なのはその巨視的な性質だからです。リー微分を取り上げる理由は、重力場が存在すると流体の存在する時空の計量がミンコフスキー計量ではなくなる可能性があり、微分幾何学の手法で扱う必要があるためです。

まず、可微分多様体上のリー微分を理解し計算するための背景を導入し、その後、流体モデルへの応用をまとめます。最後の節では、摂動を受けたエネルギー運動量テンソルを計算する短い例を扱います。

多様体の写像、引き戻し、押し出し

この節のより詳しい説明は、Sean Carroll の Spacetime and Geometry の付録 A および B にあります。

次元がそれぞれ mm と nn である多様体 MM と NN から始めます。関数 ϕ\phi は M→NM\to N の写像であり、関数 ff は N→RN\to \mathbb{R} の写像です。

ϕ\phi による ff の 引き戻し(Pullback) を次のように定義できます。 ϕ∗f:=(f∘ϕ)\phi^* f:=(f\circ \phi) これは関数 ff を NN から MM へ引き戻す操作だと考えられます。一方、関数を同じように押し出すことはできません。しかし、ベクトルを「滑らかな関数を実数へ写す微分作用素」とみなせば、ベクトルの 押し出し(Pushforward) を定義できます。V(p)V(p) を MM 上の点 pp におけるベクトルとします。NN 上での作用を指定することにより、NN 上の点 ϕ(p)\phi(p) における押し出しベクトル ϕ∗V\phi_*V を次のように定義します。 (ϕ∗V)(f):=V(ϕ∗f)(\phi_*V)(f) := V(\phi^* f)

VμV^\mu を成分とし、∂μ=∂/∂xμ\partial_\mu=\partial/\partial x^\mu と ∂α=∂/∂xα\partial_\alpha=\partial/\partial x^\alpha をそれぞれ MM と NN 上の基底とすれば、次を得ます。 V(ϕ∗f)=Vμ∂μ(f∘ϕ)=Vμ∂yα∂xμ(∂αf)V(\phi^* f) = V^\mu\partial_\mu(f\circ\phi) = V^\mu \frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu}(\partial_\alpha f) これは座標変換に似ていますが、α\alpha と μ\mu は異なる範囲の値を取り得ます。そのため、「ヤコビ行列」∂yα/∂xμ\partial y^\alpha/\partial x^\mu が可逆である理由はありません。

ベクトルの押し出しと同様に、1形式 ω\omega の引き戻しも定義できます。 (ϕ∗ω)(V):=ω(ϕ∗V)=∂yα∂xμωαVμ(\phi^*\omega)(V) := \omega (\phi_* V) = \frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\mu} \omega_\alpha V^\mu

直観を得るためには、次のように考えることができます。

V: C∞(M)→TpMϕ∗V: C∞(N)→TpNω: TpM→Rϕ∗ω: TpN→R\begin{aligned} V:\,& C^\infty(M) \to T_pM&\\ \phi^*V:\,& C^\infty(N) \to T_pN\\ \omega:\,&T_pM\to \mathbb{R} \\ \phi_*\omega:\,& T_pN \to \mathbb{R} \end{aligned}

引き戻しと押し出しに用いる多様体写像の模式図。

引き戻しと押し出しは、それぞれ任意の (0,l)(0,l) 型テンソルと (k,0)(k,0) 型テンソルへ拡張できます。

(ϕ∗T)μ1⋯μl=∂yα1∂xμ1⋯∂yαl∂xμlTα1⋯αl(ϕ∗S)α1⋯αk=∂yα1∂xμ1⋯∂yαk∂xμkSμ1⋯μk\begin{aligned} (\phi^* T)_{\mu_1\cdots \mu_l} =& \frac{\partial y^{\alpha_1}}{\partial x^{\mu_1}}\cdots\frac{\partial y^{\alpha_l}}{\partial x^{\mu_l}}T_{\alpha_1\cdots \alpha_l}\\ (\phi^* S)^{\alpha_1\cdots \alpha_k} =& \frac{\partial y^{\alpha_1}}{\partial x^{\mu_1}}\cdots\frac{\partial y^{\alpha_k}}{\partial x^{\mu_k}}S^{\mu_1\cdots \mu_k} \end{aligned}

リー微分

議論を進めるためには微分同相写像の定義が必要です。前節では写像 ϕ\phi を用いて引き戻しと押し出しを定義しましたが、多くの場合、ϕ\phi は可逆ではないため両方向に用いることはできません。

ここで MM と NN を同じ多様体とします。すると両者は自動的に微分同相であり、滑らかな写像 ϕ:M→N\phi:M\to N と、その滑らかな逆写像 ϕ−1:N→M\phi^{-1}:N\to M が存在します。これにより、任意のテンソルを引き戻したり押し出したりできます。

(ϕ∗T)α1⋯αkβ1⋯βl=(∂yα1∂xμ1⋯∂yαl∂xμl)(∂yν1∂xβ1⋯∂yνl∂xβl)Tμ1⋯μkν1⋯νl{(\phi^* T)^{\alpha_1\cdots \alpha_k}}_{\beta_1\cdots\beta_l} = \bigg(\frac{\partial y^{\alpha_1}}{\partial x^{\mu_1}}\cdots\frac{\partial y^{\alpha_l}}{\partial x^{\mu_l}} \bigg)\bigg(\frac{\partial y^{\nu_1}}{\partial x^{\beta_1}}\cdots\frac{\partial y^{\nu_l}}{\partial x^{\beta_l}}\bigg){T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l}

この設定では、微分同相写像と座標変換は、まったく同じ操作を表す二つの異なる見方にすぎません。

微分同相写像 ϕ:M→M\phi:M\to M とテンソル場 Tμ1⋯μkν1⋯νl(x){T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l}(x) が与えられたとき、点 pp におけるテンソルの値と、点 ϕ(p)\phi(p) における値を pp へ引き戻した ϕ∗[Tμ1⋯μkν1⋯νl(ϕ(p))]\phi^*\left[{T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l}(\phi(p))\right] を比較できます。これにより、多様体上で別の種類の微分、すなわちテンソル量が微分同相の流れに沿って移動するときの変化を記述する微分を定義できます。 ただし、微分同相写像を1パラメータ微分同相群 ϕt\phi_t に制限する必要があります。これは滑らかな写像 R×M→M\mathbb{R}\times M\to M とみなすことができ、各 t∈Rt\in\mathbb{R} に対して微分同相写像 ϕt\phi_t が存在し、ϕs∘ϕt=ϕs+t\phi_s\circ\phi_t=\phi_{s+t} を満たします。S2S^2 上の ϕt(θ,ϕ)=(θ,ϕ+t)\phi_t(\theta,\phi)=(\theta,\phi+t) は、その直観的な例です。

逆に、与えられたベクトル場からこのような1パラメータ微分同相群を構成することもできます。ベクトル場 Vμ(x)V^\mu(x) があるとき、次の方程式を満たす曲線 xμ(t)x^\mu(t) を、そのベクトル場の積分曲線とします。 dxμdt=Vμ\frac{dx^\mu}{dt} = V^\mu このベクトル場は微分同相写像の生成子と呼ばれます。

ベクトル場に沿ったテンソルのリー微分は次のように定義されます。

LVTμ1⋯μkν1⋯νl:=lim⁡t→0(ΔtTμ1⋯μkν1⋯νlt)=lim⁡t→0(ϕt∗[Tμ1⋯μk−ν1⋯νl(ϕt(p))]−Tμ1⋯μkν1⋯νlt)\begin{aligned} \mathcal{L}_V{T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l} :=&\lim_{t\to 0}\bigg(\frac{\Delta_t{T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l}}{t}\bigg)\\ =&\lim_{t\to 0}\bigg(\frac{\phi_t^*[{T^{\mu_1\cdots \mu_k}-}_{\nu_1\cdots\nu_l}(\phi_t(p))]-{T^{\mu_1\cdots \mu_k}}_{\nu_1\cdots\nu_l}}{t}\bigg) \end{aligned}

作用素 LV\mathcal{L}_V は線形であり、ライプニッツ則に従います。接続を必要としないため、共変微分よりも原始的な概念であり、関数に作用すると通常の方向微分に帰着します。また、スカラー場のリー微分は、ベクトル場そのものがスカラー場に作用した結果になります。

LVΦ=Vμ∂μΦ\mathcal{L}_V\Phi = V^\mu\partial_\mu\Phi

リー微分の一般形は次のようになります。

LVTν1ν2⋯νlμ1μ2⋯μk=Vσ∂σTν1ν2⋯νlμ1μ2⋯μk−(∂λVμ1)Tν1ν2⋯νlλμ2⋯μk−(∂λVμ2)Tν1ν2⋯νlμ1λ⋯μk−⋯+(∂ν1Vλ)Tλν2⋯νlμ1μ2⋯μk+(∂ν2Vλ)Tν1λ⋯νlμ1μ2⋯μk+⋯\begin{aligned} \mathcal{L}_V T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} &= V^\sigma \partial_\sigma T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} \\ &\quad - (\partial_\lambda V^{\mu_1}) T^{\lambda \mu_2 \cdots \mu_k}_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} - (\partial_\lambda V^{\mu_2}) T^{\mu_1 \lambda \cdots \mu_k}_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} - \cdots \\ &\quad + (\partial_{\nu_1} V^{\lambda}) T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}_{\lambda \nu_2 \cdots \nu_l} + (\partial_{\nu_2} V^{\lambda}) T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}_{\nu_1 \lambda \cdots \nu_l} + \cdots \end{aligned}

これは共変な式であり、テンソルの変換則に従います。偏微分を共変微分に置き換えて適切に整理しても、式は上の形に帰着します。

この一般形を使うと、計量テンソル gμνg_{\mu\nu} のリー微分を計算できます。

LVgμν=Vσ∇σgμν+(∇μVλ)gλν+(∇νVλ)gμλ=∇μVν+∇νVμ\begin{aligned} \mathcal{L}_V g_{\mu\nu} &= V^\sigma \nabla_\sigma g_{\mu\nu} + (\nabla_\mu V^\lambda) g_{\lambda\nu} + (\nabla_\nu V^\lambda) g_{\mu\lambda} \\ &= \nabla_\mu V_\nu + \nabla_\nu V_\mu \end{aligned}

流体摂動

この節では、流体を扱う際に必要となる方程式について、Shapiro & Teukolsky の第6.2節を非常に簡潔にまとめます。

まず、二種類の流体摂動、すなわちオイラー変化 δ\delta とラグランジュ変化 Δ\Delta を区別する必要があります。オイラー変化は「巨視的」な視点から摂動を記述し、時空中のある一点における流体の性質 Q(x,t)Q(\mathbf{x},t) の変化だけを考えます。

δQ:=Q(x,t)−Q0(x,t)(Eulerian change)\delta Q :=Q(\mathbf{x},t) - Q_0(\mathbf{x},t)\hspace{0.8cm}\text{\small (Eulerian change)}

一方、ラグランジュ変位 ξ(x,t)\xi(\mathbf{x},t) は「微視的」な方法で定義され、摂動前の状態にある流体要素を結びつけて流れを形成します。本質的にはベクトル場であり、その流れは dxμ/dt=ξμdx^\mu/dt=\xi^\mu を満たす積分曲線です。ラグランジュ変化は次のように定義されます。

ΔQ:=Q[x+ξ(x,t),t]−Q0(x,t)(Lagrangian change)\Delta Q:= Q[\mathbf{x}+\xi(\mathbf{x},t),t] - Q_0(\mathbf{x},t)\hspace{0.8cm} \text{\small (Lagrangian change)}

対応する作用素は次の通りです。

Δ=δ+Lξ\Delta = \delta + \mathcal{L}_\xi

ユークリッド空間では、ラグランジュ変化の作用素は次の形に帰着します。

Δ=δ+ξ⋅∇\Delta = \delta + \xi\cdot\nabla

以下の交換関係は、計算と式の整理に役立ちます。

δ∂∂t=∂∂tδδ∂∂xi=∂∂xiδΔ∂∂t=∂∂tΔ−∂ξ∂t⋅∇Δ∂∂xi=∂∂xiΔ−∂ξj∂xi∇jΔddt=ddtΔδddt=ddtδ−(ξ⋅∇)ddt\begin{aligned} \delta \frac{\partial}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial t} \delta \\ \delta \frac{\partial}{\partial x^i} &= \frac{\partial}{\partial x^i} \delta \\ \Delta \frac{\partial}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial t} \Delta - \frac{\partial \xi}{\partial t} \cdot \nabla \\ \Delta \frac{\partial}{\partial x^i} &= \frac{\partial}{\partial x^i} \Delta - \frac{\partial \xi^j}{\partial x^i} \nabla_j \\ \Delta \frac{d}{dt} &= \frac{d}{dt} \Delta \\ \delta \frac{d}{dt} &= \frac{d}{dt} \delta - (\xi \cdot \nabla) \frac{d}{dt} \end{aligned}

計算例

数式の多い部分をここまで読んでいただきありがとうございます。ようやく具体的な計算に入ります。この論文を例としてエネルギー運動量テンソルを計算しますが、設定はかなり長くなります……。

著者らは異方的な中性子星モデルを提案しており、そのエネルギー運動量テンソルは次の形を取ります。

Tαβ=ρuαuβ+prhαβ−σΩαβ,T_{\alpha\beta} = \rho u_\alpha u_\beta+p_rh_{\alpha\beta}-\sigma\Omega_{\alpha\beta},

ここで、ρ\rho は流体要素のエネルギー密度、uαu_\alpha は4元速度、hαβ=gαβ+uαuβh_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}+u_\alpha u_\beta は3次元空間上の横計量です。Ωαβ=hαβ−kαkβ\Omega_{\alpha\beta}=h_{\alpha\beta}-k_\alpha k_\beta は2次元球面上の別の横計量です。uαu^\alpha は流体の4元速度であり、kαk^\alpha は uαu^\alpha と直交する動径方向の単位法線ベクトルです。 異方性の度合いを表す σ=pr−pt\sigma=p_r-p_t には、二つのモデルがあります。

σH=βprμ2;σB-L=β(ρ+pr)(ρ+3pr)1−μr2\sigma_{\text{H}} = \beta p_r\mu^2;\hspace{0.5cm}\sigma_{\text{B-L}} = \beta\frac{(\rho+p_r)(\rho+3p_r)}{1-\mu}r^2

脈動する恒星では、計量と物質のダイナミクスは、摂動を受けたアインシュタイン方程式とエネルギー運動量保存則によって支配されます。

δGαβ=8πδTαβ\delta G_{\alpha \beta} = 8\pi \delta T_{\alpha \beta} δ(∇αTαβ)=0\delta(\nabla_{\alpha} T^{\alpha \beta}) = 0

静的球対称な背景計量を次のように定義します。

ds2=−eνdt2+eλdr2+r2dΩ2ds^2 = -e^{\nu} dt^2 + e^{\lambda} dr^2 + r^2 d\Omega^2

その1次摂動は次の形を取ります。

δgαβdxαdxβ=−∑ℓ,m[eνrℓH0dt2+2iωrℓ+1H1dtdr+eλrℓH2dr2+rℓ+2KdΩ2]eiωtYℓm,\begin{aligned} \delta g_{\alpha \beta} dx^{\alpha} dx^{\beta} = -\sum_{\ell, m} \bigg[& e^{\nu} r^{\ell} H_0 dt^2 + 2i\omega r^{\ell+1} H_1 dt dr\\ &+ e^{\lambda} r^{\ell} H_2 dr^2 + r^{\ell+2} K d\Omega^2 \bigg] e^{i\omega t} Y_{\ell m}, \end{aligned}

ここで (H0,H1,H2,K)(H_0,H_1,H_2,K) は rr の関数であり、YℓmY_{\ell m} は球面調和関数です。

動径方向圧力のラグランジュ摂動は次の形を取ります。

Δpr=γprρ+prΔρ,\Delta p_r = \frac{\gamma p_r}{\rho + p_r}\Delta \rho,

γ\gamma は断熱指数です。

ここから、エネルギー運動量テンソルの計算に必要な各量について、線形1次のオイラー摂動を順に求めます。

pr=pr(0)+δprp_r = p_r^{(0)} + \delta p_r

論文では Δpr\Delta p_r の式が与えられており、これを用いて δpr\delta p_r を次のように計算できます。

δpr=Δpr−Lξpr(0)=Δpr−ξμ∂μpr(0)\delta p_r = \Delta p_r - \mathcal{L}_\xi p_r^{(0)} = \Delta p_r - \xi^\mu\partial_\mu p_r^{(0)}

Δpr\Delta p_r と Δρ\Delta\rho の関係から Δρ\Delta\rho を求め、そこから ρ\rho のリー微分を引けば δρ\delta\rho が得られます。

規格化条件 gμν(0)(u(0))μ(u(0))ν=−1g^{(0)}_{\mu\nu}\left(u^{(0)}\right)^\mu\left(u^{(0)}\right)^\nu=-1 から、背景の4元速度を求められます。次に、摂動後の規格化条件

(gμν(0)+Δgμν)[u(0)+Δu]μ[u(0)+Δu]ν=−1\left(g^{(0)}_{\mu\nu} + \Delta g_{\mu\nu}\right)\left[u^{(0)}+\Delta u\right]^\mu\left[u^{(0)}+\Delta u\right]^\nu = -1

を用いて uu のラグランジュ摂動を計算します。線形次数では Δuμ∝(u0)μ\Delta u^\mu\propto\left(u^0\right)^\mu と期待されるため、Δuμ\Delta u^\mu を C⋅(u(0))μC\cdot\left(u^{(0)}\right)^\mu と置きます。二項展開により次を得ます。

Δuμ=12(u(0))μ(u(0))α(u(0))βΔgαβ\Delta u^\mu = \frac{1}{2}\left(u^{(0)}\right)^\mu\left(u^{(0)}\right)^\alpha\left(u^{(0)}\right)^\beta\Delta g_{\alpha\beta}

また、Lξgμν=∇μξν+∇νξμ\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu を思い出すと、展開によって uμu^\mu の線形次数におけるオイラー摂動を得られます。

(k(0))μ\left(k^{(0)}\right)^\mu が分かっていれば、この結果を δkμ\delta k^\mu の計算にも適用できます。これで、エネルギー運動量テンソル TT の計算に必要なすべての量についてオイラー変化が得られました。これらを組み合わせることで、次を計算できます。

Tαβ=ρuαuβ+prhαβ−σΩαβ,T_{\alpha\beta} = \rho u_\alpha u_\beta+p_rh_{\alpha\beta}-\sigma\Omega_{\alpha\beta},

ここで、σ\sigma を除く各項は、背景項とそのオイラー変化から構成されます。

本稿はGPT-5により原文から翻訳されました（2026/08/11）。相違がある場合は原文を優先します。

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