时间胶囊

为什么 ⟨x∣ψ⟩\langle x|\psi\rangle 既是一个数，又是一个波函数？

地瓜essay

地瓜的问题

地瓜在学习 Dirac notation 时看到了

ψ(x)=⟨x∣ψ⟩,\psi(x)=\langle x|\psi\rangle,

随后又看到了量子态的展开

∣ψ⟩=∫dx ∣x⟩⟨x∣ψ⟩.|\psi\rangle = \int dx\,|x\rangle\langle x|\psi\rangle.

这里有三个不太自然的地方。

第一，⟨x∣ψ⟩\langle x|\psi\rangle 看起来是一个 inner product。inner product 难道不应该只是一个实数吗？为什么它又被称为波函数？

第二，即使 ⟨x∣ψ⟩\langle x|\psi\rangle 是一个数，积分号里面为什么还会出现 ket ∣x⟩|x\rangle？普通积分似乎应该对数字或函数积分，而不是对抽象向量积分。

第三，这个积分看起来很像 Fourier transform。它究竟是在做基底展开，还是在做 Fourier transform？

这些困惑并不只是记号问题。Dirac notation 把“抽象量子态”“基底”和“波函数”压缩在很短的表达式里，也隐藏了连续基底所涉及的一些 distributional 细节。

最短的回答

对于一个固定的 xx，⟨x∣ψ⟩\langle x|\psi\rangle 是一个复数；当 xx 连续变化时，这整组复数构成一个复值函数 ψ(x)\psi(x)。

∣x⟩|x\rangle 是连续基底中的一个 ket，而 ψ(x)\psi(x) 是它前面的复数系数。积分

∫dx ψ(x)∣x⟩\int dx\,\psi(x)|x\rangle

是连续版本的向量线性组合，积分结果仍然是一个 ket。

这个积分本身不是 Fourier transform。只有把位置表象的系数转换成动量表象的系数时，Fourier transform 才会出现。

一个数怎么同时又是一个函数？

先考虑有限维向量空间。设 {∣ei⟩}\{|e_i\rangle\} 是一组正交基底，则向量 ∣v⟩|v\rangle 的第 ii 个分量是

vi=⟨ei∣v⟩.v_i=\langle e_i|v\rangle.

固定一个 ii 时，viv_i 只是一个数；让 ii 取遍所有可能值时，{vi}\{v_i\} 就构成一个坐标列表。

位置表象中的区别只是：离散指标 ii 被连续指标 xx 取代。于是

ψ(x)=⟨x∣ψ⟩.\psi(x)=\langle x|\psi\rangle.

固定一个 xx 时，ψ(x)\psi(x) 是一个复数；让 xx 连续变化时，映射

x⟼⟨x∣ψ⟩x\longmapsto\langle x|\psi\rangle

就是一个复值函数。这与“一个数列中的每一项是数，但整个数列不是单个数”完全类似。

因此，下面两个说法同时正确：

  • 对固定的 xx，⟨x∣ψ⟩∈C\langle x|\psi\rangle\in\mathbb C；
  • 对所有的 xx，⟨x∣ψ⟩\langle x|\psi\rangle 定义了波函数 ψ(x)\psi(x)。

为什么 inner product 不一定是实数？

只有一个向量与自身的 inner product

⟨ψ∣ψ⟩\langle\psi|\psi\rangle

一定是非负实数。两个不同向量之间的 inner product

⟨ϕ∣ψ⟩\langle\phi|\psi\rangle

一般是复数。因此 ⟨x∣ψ⟩\langle x|\psi\rangle 没有理由必须是实数。

位置测量的概率也不是 ψ(x)\psi(x) 本身，而是

∣ψ(x)∣2 dx=∣⟨x∣ψ⟩∣2 dx.|\psi(x)|^2\,dx = |\langle x|\psi\rangle|^2\,dx.

它表示在区间 [x,x+dx][x,x+dx] 中找到粒子的概率。ψ(x)\psi(x) 是 probability amplitude，而不是 probability。

∣x⟩|x\rangle 是不是一个波函数？

∣x⟩|x\rangle 本身不是某个特定的波函数。它是一个抽象的 position eigenket，满足

x^∣x⟩=x∣x⟩.\hat x|x\rangle=x|x\rangle.

一个 ket 只有投影到某个基底上，才会变成该表象中的函数。

为了避免两个 xx 混在一起，固定一个位置 x0x_0。位置本征态 ∣x0⟩|x_0\rangle 在位置表象中的波函数是

⟨x∣x0⟩=δ(x−x0).\langle x|x_0\rangle=\delta(x-x_0).

同一个 ket 在动量表象中的波函数则是

⟨p∣x0⟩=12πℏe−ipx0/ℏ.\langle p|x_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-ipx_0/\hbar}.

所以 ket 与波函数之间的关系是：ket 是抽象向量，波函数是这个向量在某个选定基底中的坐标表示。

为什么积分号里面可以出现 ket？

有限维向量可以写成

∣v⟩=∑i∣ei⟩⟨ei∣v⟩=∑ivi∣ei⟩.|v\rangle = \sum_i|e_i\rangle\langle e_i|v\rangle = \sum_i v_i|e_i\rangle.

每一项 vi∣ei⟩v_i|e_i\rangle 都是“一个复数乘以一个基向量”，所以每一项仍然是向量。把所有向量分量加起来，就恢复完整向量。

位置基底由连续参数 xx 标记，所以离散求和变成积分：

∣ψ⟩=∫dx ∣x⟩⟨x∣ψ⟩=∫dx ψ(x)∣x⟩.|\psi\rangle = \int dx\,|x\rangle\langle x|\psi\rangle = \int dx\,\psi(x)|x\rangle.

这里的 ψ(x)∣x⟩\psi(x)|x\rangle 是一个 ket-valued expression。积分可以理解为连续线性组合，或者理解成向量值积分。它的 Riemann-sum 直觉是把许多带有不同权重的 ket 相加，然后取连续极限。

普通数学中也可以对向量积分。例如

∫dt(cos⁡tsin⁡t)\int dt \begin{pmatrix} \cos t\\ \sin t \end{pmatrix}

的结果仍然是一个向量。对 ket 积分使用的是同一个思想。

形式上，ψ(x)∣x⟩ dx\psi(x)|x\rangle\,dx 可以看成位置区间 [x,x+dx][x,x+dx] 对完整量子态贡献的一个无穷小 ket 分量。

如何确认这个积分确实重建了 ∣ψ⟩|\psi\rangle？

连续位置基底满足 completeness relation：

∫dx ∣x⟩⟨x∣=I.\int dx\,|x\rangle\langle x|=I.

检验方法是从左边乘任意位置 bra ⟨y∣\langle y|：

⟨y|∫dx ∣x⟩⟨x∣ψ⟩=∫dx ⟨y∣x⟩⟨x∣ψ⟩=∫dx δ(y−x)ψ(x)=ψ(y)=⟨y∣ψ⟩.\begin{aligned} \left\langle y\middle| \int dx\,|x\rangle\langle x|\psi\rangle \right. &= \int dx\,\langle y|x\rangle\langle x|\psi\rangle\\ &= \int dx\,\delta(y-x)\psi(x)\\ &= \psi(y)\\ &= \langle y|\psi\rangle. \end{aligned}

积分得到的 ket 和原来的态 ∣ψ⟩|\psi\rangle 在每一个位置基底上的分量都相同，因此它们是同一个态。

为什么这个写法仍然有一点“不正规”的感觉？

这种感觉有数学上的原因。严格来说，精确位置本征态 ∣x⟩|x\rangle 不是普通的、可归一化的 Hilbert-space vector，因为

⟨x∣x′⟩=δ(x−x′).\langle x|x'\rangle=\delta(x-x').

∣x⟩|x\rangle 是 generalized eigenvector，带有 distributional 性质。因此

∫dx ∣x⟩⟨x∣=I\int dx\,|x\rangle\langle x|=I

是一种 generalized completeness relation。更严格的处理需要 rigged Hilbert space 或 spectral theorem。

同样，单独的 ∣x⟩⟨x∣|x\rangle\langle x| 并不像离散基底中的 projector 那样是一个良好的普通算符。投影到一个位置区间 Δ\Delta 的正规表达式是

PΔ=∫Δdx ∣x⟩⟨x∣.P_\Delta = \int_\Delta dx\,|x\rangle\langle x|.

因此，地瓜觉得“积分号里面有 ket 很奇怪”并不代表没有理解这个记号。Dirac notation 在这里确实隐藏了与 distributions 有关的技术细节。

这个积分是不是 Fourier transform？

表达式

∣ψ⟩=∫dx ψ(x)∣x⟩|\psi\rangle=\int dx\,\psi(x)|x\rangle

本身不是 Fourier transform。它是在位置基底中重建抽象量子态。

如果从左边投影到动量基底，则得到

ψ~(p)=⟨p∣ψ⟩=∫dx ⟨p∣x⟩ψ(x)=12πℏ∫dx e−ipx/ℏψ(x).\begin{aligned} \widetilde\psi(p) &=\langle p|\psi\rangle\\ &=\int dx\,\langle p|x\rangle\psi(x)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dx\,e^{-ipx/\hbar}\psi(x). \end{aligned}

这才是从位置波函数到动量波函数的 Fourier transform，其中 ⟨p∣x⟩\langle p|x\rangle 是变换核。

所以两件事的区别是：

  • ∫dx ψ(x)∣x⟩\int dx\,\psi(x)|x\rangle 用位置分量重建抽象 ket；
  • ∫dx ⟨p∣x⟩ψ(x)\int dx\,\langle p|x\rangle\psi(x) 把位置分量转换成动量分量。

酉变换下的波函数

在 Dirac notation 中，位置波函数写成

ψ(x)=⟨x∣ψ⟩.\psi(x)=\langle x|\psi\rangle.

如果同一个 unitary transformation UU 同时作用在量子态和与它对应的基底上，

∣ψ′⟩=U∣ψ⟩,∣x′⟩=U∣x⟩,|\psi'\rangle=U|\psi\rangle, \qquad |x'\rangle=U|x\rangle,

那么

ψ′(x′)=⟨x′∣ψ′⟩=⟨x∣U†U∣ψ⟩=⟨x∣ψ⟩=ψ(x).\begin{aligned} \psi'(x') &=\langle x'|\psi'\rangle\\ &=\langle x|U^\dagger U|\psi\rangle\\ &=\langle x|\psi\rangle\\ &=\psi(x). \end{aligned}

核心不是说波函数图像没有移动，而是说 unitary transformation 保持 inner product：在平移前后两个相对应的点上，probability amplitude 相同。

如果固定原来的位置基底 ∣x⟩|x\rangle，只平移量子态，则向右平移 aa 给出

ψ′(x)=ψ(x−a).\psi'(x)=\psi(x-a).

因此以下两种比较并不矛盾：

  • ψ′(x)=ψ(x−a)\psi'(x)=\psi(x-a) 比较同一个坐标标签 xx；
  • ψ′(x′)=ψ(x)\psi'(x')=\psi(x) 比较平移前后相对应的点，其中 x′=x+ax'=x+a。

最后的理解

地瓜可以把整件事压缩成三句话：

  1. 对固定的 xx，⟨x∣ψ⟩\langle x|\psi\rangle 是一个复数；让 xx 变化，它就是位置波函数。
  2. ∣x⟩|x\rangle 是连续基底 ket，ψ(x)\psi(x) 是复数权重；对 ψ(x)∣x⟩\psi(x)|x\rangle 积分是在连续地叠加向量分量。
  3. ket 是抽象量子态，wavefunction 是这个 ket 在选定基底中的坐标表示。

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