なぜ $\langle x|\psi\rangle$ は数であり、同時に波動関数でもあるのか？

地瓜の疑問

地瓜（ディーグア）はDirac notationを学んでいるとき、次の式を目にした。

$$\psi(x)=\langle x|\psi\rangle,$$

そして、そのあとで量子状態の展開も目にした。

$$|\psi\rangle = \int dx\,|x\rangle\langle x|\psi\rangle.$$

ここには、どこか不自然に感じられる点が三つある。

第一に、$\langle x|\psi\rangle$ はinner productのように見える。inner productとは、ただの実数ではないのだろうか。それなのに、なぜ波動関数とも呼ばれるのか。

第二に、たとえ$\langle x|\psi\rangle$が数だとしても、積分記号の中になぜket $|x\rangle$が現れるのか。普通の積分とは、数や関数を積分するものであって、抽象的なベクトルを積分するものではないように思える。

第三に、この積分はFourier transformによく似ている。これは基底展開をしているのか、それともFourier transformをしているのか。

これらの疑問は、単なる記法上の問題ではない。Dirac notationは「抽象的な量子状態」「基底」「波動関数」をごく短い式の中に押し込めると同時に、連続基底にまつわるdistribution的な細部も覆い隠している。

いちばん短い答え

一つの$x$を固定すれば、$\langle x|\psi\rangle$は複素数である。$x$を連続的に変化させれば、その複素数の集まり全体が複素数値関数$\psi(x)$を形作る。

$|x\rangle$は連続基底のketであり、$\psi(x)$はその前に掛かる複素数の係数である。積分

$$\int dx\,\psi(x)|x\rangle$$

はベクトルの線形結合を連続化したものであり、積分の結果もやはりketである。

この積分そのものはFourier transformではない。位置表示の係数を運動量表示の係数へ変換するときにだけ、Fourier transformが現れる。

一つの数が、どうして同時に関数でもあるのか？

まず有限次元ベクトル空間を考える。$\{|e_i\rangle\}$を正規直交基底とすると、ベクトル$|v\rangle$の第$i$成分は

$$v_i=\langle e_i|v\rangle.$$

一つの$i$を固定すれば、$v_i$はただの数である。$i$にすべての可能な値を取らせれば、$\{v_i\}$は座標の一覧を形作る。

位置表示での違いはただ一つ、離散的な添字$i$が連続的な添字$x$に置き換わることだけだ。したがって、

$$\psi(x)=\langle x|\psi\rangle.$$

一つの$x$を固定すれば、$\psi(x)$は複素数である。$x$を連続的に変化させれば、写像

$$x\longmapsto\langle x|\psi\rangle$$

は複素数値関数になる。これは「数列の一つ一つの項は数だが、数列全体は一つの数ではない」ということとまったく同じである。

ゆえに、次の二つはどちらも正しい。

• $x$を固定すれば、$\langle x|\psi\rangle\in\mathbb C$である。
• すべての$x$について見れば、$\langle x|\psi\rangle$は波動関数$\psi(x)$を定義する。

inner productはなぜ必ずしも実数ではないのか？

あるベクトルとそれ自身とのinner product

$$\langle\psi|\psi\rangle$$

だけが、必ず非負の実数になる。異なる二つのベクトルのあいだのinner product

$$\langle\phi|\psi\rangle$$

は一般に複素数である。したがって、$\langle x|\psi\rangle$が実数でなければならない理由はない。

位置測定の確率も、$\psi(x)$そのものではなく、

$$|\psi(x)|^2\,dx = |\langle x|\psi\rangle|^2\,dx$$

である。これは区間$[x,x+dx]$で粒子が見つかる確率を表す。$\psi(x)$はprobability amplitudeであって、probabilityではない。

$|x\rangle$は波動関数なのか？

$|x\rangle$そのものは、ある特定の波動関数ではない。それは抽象的なposition eigenketであり、

$$\hat x|x\rangle=x|x\rangle$$

を満たす。

ketは、ある基底へ射影されてはじめて、その表示における関数となる。

二つの$x$が混ざらないよう、位置$x_0$を一つ固定しよう。位置固有状態$|x_0\rangle$の位置表示における波動関数は

$$\langle x|x_0\rangle=\delta(x-x_0).$$

同じketの運動量表示における波動関数は

$$\langle p|x_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-ipx_0/\hbar}.$$

したがって、ketと波動関数の関係はこうである。ketは抽象ベクトルであり、波動関数はそのベクトルを、選ばれた基底における座標で表したものである。

なぜ積分記号の中にketが現れてもよいのか？

有限次元ベクトルは

$$|v\rangle = \sum_i|e_i\rangle\langle e_i|v\rangle = \sum_i v_i|e_i\rangle$$

と書ける。

各項$v_i|e_i\rangle$は「一つの複素数を一つの基底ベクトルに掛けたもの」なので、それぞれの項は依然としてベクトルである。すべてのベクトル成分を足し合わせれば、完全なベクトルが復元される。

位置基底は連続パラメータ$x$でラベル付けされるため、離散的な和は積分へ変わる。

$$|\psi\rangle = \int dx\,|x\rangle\langle x|\psi\rangle = \int dx\,\psi(x)|x\rangle.$$

ここで$\psi(x)|x\rangle$はket-valued expressionである。この積分は連続的な線形結合、あるいはベクトル値積分として理解できる。Riemann sumのイメージで言えば、異なる重みを持つ多数のketを足し合わせ、そのあとで連続極限を取るということだ。

通常の数学でも、ベクトルを積分することはできる。たとえば、

$$\int dt \begin{pmatrix} \cos t\\ \sin t \end{pmatrix}$$

の結果もやはりベクトルである。ketの積分にも、これと同じ考え方が使われている。

形式的には、$\psi(x)|x\rangle\,dx$を、位置区間$[x,x+dx]$が完全な量子状態へ寄与する無限小のket成分とみなすことができる。

この積分が本当に$|\psi\rangle$を復元していると、どう確認できるのか？

連続な位置基底はcompleteness relation

$$\int dx\,|x\rangle\langle x|=I$$

を満たす。

確認するには、左から任意の位置bra $\langle y|$を掛ければよい。

$$\begin{aligned} \left\langle y\middle| \int dx\,|x\rangle\langle x|\psi\rangle \right. &= \int dx\,\langle y|x\rangle\langle x|\psi\rangle\\ &= \int dx\,\delta(y-x)\psi(x)\\ &= \psi(y)\\ &= \langle y|\psi\rangle. \end{aligned}$$

積分によって得られたketと元の状態$|\psi\rangle$は、位置基底のあらゆる成分で一致する。したがって、両者は同じ状態である。

なぜこの書き方には、まだ少し「厳密ではない」感じが残るのか？

そう感じるのには、数学的な理由がある。厳密に言えば、正確な位置固有状態$|x\rangle$は、通常の正規化可能なHilbert-space vectorではない。なぜなら、

$$\langle x|x'\rangle=\delta(x-x')$$

だからである。$|x\rangle$はdistribution的な性質を持つgeneralized eigenvectorである。したがって、

$$\int dx\,|x\rangle\langle x|=I$$

はgeneralized completeness relationである。より厳密に扱うには、rigged Hilbert spaceまたはspectral theoremが必要になる。

同様に、単独の$|x\rangle\langle x|$は、離散基底のprojectorのような、よく定義された通常の演算子ではない。位置区間$\Delta$へ射影する正規の表式は

$$P_\Delta = \int_\Delta dx\,|x\rangle\langle x|$$

である。

だから、地瓜が「積分記号の中にketがあるのは奇妙だ」と感じたからといって、この記法を理解できていないわけではない。ここでのDirac notationは、確かにdistributionsに関わる技術的な細部を覆い隠している。

この積分はFourier transformなのか？

式

$$|\psi\rangle=\int dx\,\psi(x)|x\rangle$$

そのものはFourier transformではない。これは位置基底によって抽象的な量子状態を復元している。

左から運動量基底へ射影すると、

$$\begin{aligned} \widetilde\psi(p) &=\langle p|\psi\rangle\\ &=\int dx\,\langle p|x\rangle\psi(x)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dx\,e^{-ipx/\hbar}\psi(x). \end{aligned}$$

を得る。こちらが位置波動関数から運動量波動関数へのFourier transformであり、$\langle p|x\rangle$が変換核である。

したがって、二つの違いは次のとおりだ。

• $\int dx\,\psi(x)|x\rangle$は、位置成分から抽象的なketを復元する。
• $\int dx\,\langle p|x\rangle\psi(x)$は、位置成分を運動量成分へ変換する。

ユニタリ変換のもとでの波動関数

Dirac notationでは、位置波動関数を

$$\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$$

と書く。

同じunitary transformation $U$が、量子状態とそれに対応する基底の両方へ同時に作用するなら、

$$|\psi'\rangle=U|\psi\rangle, \qquad |x'\rangle=U|x\rangle,$$

したがって、

$$\begin{aligned} \psi'(x') &=\langle x'|\psi'\rangle\\ &=\langle x|U^\dagger U|\psi\rangle\\ &=\langle x|\psi\rangle\\ &=\psi(x). \end{aligned}$$

核心は、波動関数のグラフが動いていないということではない。unitary transformationがinner productを保つため、平行移動の前後で対応する二点のprobability amplitudeが等しい、ということだ。

元の位置基底$|x\rangle$を固定し、量子状態だけを平行移動するなら、右へ$a$だけ平行移動したとき

$$\psi'(x)=\psi(x-a)$$

となる。

したがって、次の二つの比較は矛盾しない。

• $\psi'(x)=\psi(x-a)$は、同じ座標ラベル$x$を比較している。
• $\psi'(x')=\psi(x)$は、平行移動前後で対応する点を比較している。ここで$x'=x+a$である。

最後の理解

地瓜は、この話全体を三つの文にまとめることができる。

1. 一つの$x$を固定すれば、$\langle x|\psi\rangle$は複素数である。$x$を変化させれば、それが位置波動関数になる。
2. $|x\rangle$は連続基底のketであり、$\psi(x)$は複素数の重みである。$\psi(x)|x\rangle$を積分するとは、ベクトル成分を連続的に重ね合わせることである。
3. ketは抽象的な量子状態であり、wavefunctionはそのketを選ばれた基底の座標で表したものである。